library(rgl)PROJETO DE DESCOBERTA: A GEOMETRIA DE UM TETRAEDRO
R
Matemática
Neste post, vamos explorar a geometria de um tetraedro, um sólido com quatro vértices e quatro faces triangulares.
O que é um tetraedro?
O tetraedro é um dos sólidos geométricos mais fundamentais da matemática e da geometria espacial. Ele pertence ao grupo dos cinco sólidos platônicos, caracterizados por faces congruentes, ângulos internos idênticos e vértices uniformemente distribuídos. Composto por quatro faces triangulares, seis arestas e quatro vértices, o tetraedro é a forma tridimensional mais simples que pode existir.
Neste post, vamos usar o R para explorar a geometria de um tetraedro. Usaremos o pacote rgl para visualizar o tetraedro.
Sobre o post
Este poste é a resolução de um exercício do livro “Cáculo Volume 2” do James Stewart com aplicações em R. O exercicio pode ser encontrado na página 734 do livro. Abaixo segue o enunciado do exercicio:
Carregando Pacotes
Carregando o pacote rgl para visualização interativa de gráficos 3D. O pacote rgl é necessário para visualizar gráficos 3D interativos no R Markdown.
1. Execício 1
Um tetraedro é um sólido com quatro vértices, P, Q, R e S, e quatro faces triangulares Sejam \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\), \(\vec{v_3}\) e \(\vec{v_4}\) vetores de comprimentos iguais à área das faces opostas aos vértices P,Q, R e S, respectivamente, e direções perpendiculares às respectivas faces e apontando parafora do tetraedro. Mostre que: \[{\vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3} + \vec{v_4} = 0}\]
Seja o tetraedo qualquer, com vertices em \(P(p_1, p_2, p_3)\), \(Q(q_1, q_2, q_3)\), \(R(r_1, r_2, r_3)\) e \(S(s_1, s_2, s_3)\). Podemos construir essa figura da seguinte forma:
# Coordenadas dos vértices do tetraedro unitário
vertices <- matrix(c(
0, 0,
1, 0,
0.5, sqrt(3)/2,
0.5, sqrt(3)/6
), ncol = 2, byrow = TRUE)
# Projeção ortográfica dos vértices em 2D
proj_x <- vertices[, 1]
proj_y <- vertices[, 2]
# Nome dos pontos
nomes_pontos <- c("Q","S","R","P")
# Plotar os vértices com nome
plot(proj_x, proj_y, type = "n", xlab = "", ylab = "", main = "Tetraedro 2D")
text(proj_x, proj_y, nomes_pontos, pos = 4)
# Conectar os vértices para formar o tetraedro
segments(proj_x[1], proj_y[1], proj_x[2], proj_y[2], col = "Black")
segments(proj_x[2], proj_y[2], proj_x[3], proj_y[3], col = "Black")
segments(proj_x[3], proj_y[3], proj_x[1], proj_y[1], col = "Black")
segments(proj_x[1], proj_y[1], proj_x[4], proj_y[4], col = "Black")
segments(proj_x[2], proj_y[2], proj_x[4], proj_y[4], col = "Black")
segments(proj_x[3], proj_y[3], proj_x[4], proj_y[4], col = "Black")
\[\vec{PQ}= Q - P = (q_1 - p_1, q_2 - p_2, q_3 - p_3)\] \[\vec{QR}= R - Q = (r_1 - q_1, r_2 - q_2, r_3 - q_3)\] \[\vec{RP}= P - R = (p_1 - r_1, p_2 - r_2, p_3 - r_3)\] \[\vec{RS}= S - R = (s_1 - r_1, s_2 - r_2, s_3 - r_3)\] \[\vec{SP}= P - S = (p_1 - s_1, p_2 - s_2, p_3 - s_3)\] \[\vec{SQ}= Q - S = (q_1 - s_1, q_2 - s_2, q_3 - s_3)\] \[\vec{QR}= R - Q = (r_1 - q_1, r_2 - q_2, r_3 - q_3)\] \[\vec{QS}= S - Q = (s_1 - q_1, s_2 - q_2, s_3 - q_3)\] Assim, o vetor area de cada lado do tetraedro é dado pelo podruto interno de dois vetores que estão contidos no plano da face do tetraedro dividido por 2. Assim, temos que o vetor area de cada face do tetraedro é dado por:
\[\vec{v_1} = \frac{1}{2} \left( \vec{QP} \times \vec{QR} \right) \] \[\vec{v_2} = \frac{1}{2} \left( \vec{RP} \times \vec{RS} \right) \] \[ \vec{v_3} = \frac{1}{2} \left( \vec{SP} \times \vec{SQ} \right) \] \[ \vec{v_4} = \frac{1}{2} \left( \vec{RQ} \times \vec{SQ} \right) \] Assim, temos que, para o primeiro vetor: \[ \vec{v_1}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} i & j & k \\ p_1 - q_1 & p_2 - q_2 & p_3 - q_3 \\ r_1 - q_1 & r_2 - q_2 & r_3 - q_3 \\ \end{bmatrix} \] Para o segundo vetor, temos a seguinte matriz: \[ \vec{v_2}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} i & j & k \\ p_1 - r_1 & p_2 - r_2 & p_3 - r_3 \\ s_1 - r_1 & s_2 - r_2 & s_3 - r_3 \\ \end{bmatrix} \] Para o terceiro vetor, temos a seguinte matriz: \[ \vec{v_3}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} i & j & k \\ p_1 - s_1 & p_2 - s_2 & p_3 - s_3 \\ q_1 - s_1 & q_2 - s_2 & q_3 - s_3 \\ \end{bmatrix} \] Para o quarto vetor, temos a seguinte matriz: \[ \vec{v_4}=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} i & j & k \\ r_1 - q_1 & r_2 - q_2 & r_3 - q_3 \\ s_1 - q_1 & s_2 - q_2 & s_3 - q_3 \\ \end{bmatrix} \] Assim, temos que o vetor \(\vec{v_1}\) é dado por: \[ \vec{v_1}=\frac{1}{2}(\hat{i} (p_2 r_3 - p_2 q_3 - q_2 r_3 - p_3 r_2 + p_3 q_2 + q_3 r_2) + \hat{j} (p_3 q_1 - p_3 r_1 + p_1 r_3 - p_1 q_3 - q_3 r_1 + q_1 r_3) + \hat{k} (p_2 q_1 - p_2 r_1 + p_1 r_2 - p_1 q_2 - q_2 r_1 + q_1 r_2)) \] Assim, temos que o vetor \(\vec{v_2}\) é dado por: \[ \vec{v_2=}\frac{1}{2}(\hat{i} (p_3 (r_2 - s_2) + p_2 (s_3 - r_3) + r_3 s_2 - r_2 s_3) + \hat{j} (p_3 (s_1 - r_1) + p_1 (r_3 - s_3) - r_3 s_1 + r_1 s_3) + \hat{k} (p_2 (r_1 - s_1) + p_1 (s_2 - r_2) + r_2 s_1 - r_1 s_2)) \] Assim, temos que o vetor \(\vec{v_3}\) é dado por: \[ \vec{v_3}=\frac{1}{2}(\hat{i}(p_3 (s_2 - q_2) + p_2 (q_3 - s_3) - q_3 s_2 + q_2 s_3) + \hat{j}(p_3 (q_1 - s_1) + p_1 (s_3 - q_3) + q_3 s_1 - q_1 s_3) + \hat{k}(p_2 (s_1 - q_1) + p_1 (q_2 - s_2) - q_2 s_1 + q_1 s_2)) \] Assim, temos que o vetor \(\vec{v_4}\) é dado por: \[ \vec{v_4}=\frac{1}{2}(\hat{i}(q_3 (s_2 - r_2) + q_2 (r_3 - s_3) - r_3 s_2 + r_2 s_3) + \hat{j} (q_3 (r_1 - s_1) + q_1 (s_3 - r_3) + r_3 s_1 - r_1 s_3) + \hat{k} (q_2 (s_1 - r_1) + q_1 (r_2 - s_2) - r_2 s_1 + r_1 s_2)) \] Comparando a primeira coordenada \(\hat{i}\) de cada vetor, temos que: \[ \begin{cases} \vec{v_{1x}} = \frac{1}{2}(\hat{i} (p_2r_3 - p_2q_3 - q_2r_3 - p_3r_2 + p_3q_2 + q_3r_2)) \\ \vec{v_{2x}} = \frac{1}{2}(\hat{i} (p_3r_2 - p_3s_2 + p_2s_3 - p_2r_3 + r_3s_2 - r_2s_3)) \\ \vec{v_{3x}} = \frac{1}{2}(\hat{i} (p_3s_2 - p_3q_2 + p_2q_3 - p_2s_3 - q_3s_2 + q_2s_3)) \\ \vec{v_{4x}} = \frac{1}{2}(\hat{i} (q_3s_2 - q_3r_2 + q_2r_3 - q_2s_3 - r_3s_2 + r_2s_3)) \\ \end{cases} \] Deste modo, somando as coordenadas \(\hat{i}\) de cada vetor, temos que: \[ \vec{v_{1x}} + \vec{v_{2x}} + \vec{v_{3x}} + \vec{v_{4x}} = 0 \] Assim, temos que a soma das coordenadas \(\hat{i}\) de cada vetor é igual a zero. Analogamente, temos que a soma das coordenadas \(\hat{j}\) e \(\hat{k}\) de cada vetor também é igual a zero. Deste modo, temos que a soma de todos os vetores é igual a zero.
2. Exercício 2
O volume V de um tetraedro é um terço da distância de um vértice à face oposta vezes a área dessa face.
a)
Determine uma fórmula para o volume do tetraedro em termos das coordenadas de seus vértices P, Q, R e S.
Deste modo temos que o Volume \(V\) de um tetraedro é dado por: \[ V = \frac{1}{3}Bh \] onde \(h\) é a distancia do vértice ao plano formado pela face oposta, ou seja, a autura do tetraedro e \(B\) é a área da face oposta. Em outra palavras, o volumo do tetaedro é igual a um terço da area da base vezes a altura. Para um tetraedro qualquer, com vértices em \(P(p_1, p_2, p_3)\), \(Q(q_1, q_2, q_3)\), \(R(r_1, r_2, r_3)\) e \(S(s_1, s_2, s_3)\), temos que a distância de um vértice qualquer \(P\) à face oposta é dada por: \[ d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{P}|}{|\vec{n}|} \] e que a area de um lado do tetraedro é dada pelo modulo do vetor normal a face oposta \[ A = |\vec{n}| \] Assim, temos que o volume do tetraedro é dado por: \[ V = \frac{1}{3} \frac{|\vec{n} \cdot \vec{P}|}{|\vec{n}|} |\vec{n}| \] simplificando: \[ V = \frac{1}{3} |\vec{n} \cdot \vec{P}| \] Seja \(\vec{n}\) o produto interno entre os vetores \(\vec{SQ}\) e \(\vec{SR}\), temos que: \[ \vec{n} = \vec{SQ} \times \vec{SR} \] Resolvendo, e isolando \(i\), \(j\) e \(k\), temos que: \[ \vec{SQ} \times \vec{SR}=\begin{bmatrix} i & j & k \\ q_1 - s_1 & q_2 - s_2 & q_3 - s_3 \\ r_1 - s_1 & r_2 - s_2 & r_3 - s_3 \\ \end{bmatrix} \] \[ \hat{i} (q_2- s_2)(r_3 - s_3) - (q_3 - s_3)(r_2 - s_2) + \hat{j} (q_3 - s_3)(r_1 - s_1) - (q_1 - s_1)(r_3 - s_3) + \hat{k} (q_1 - s_1)(r_2 - s_2) - (q_2 - s_2)(r_1 - s_1) \]
b)
Encontre o volume do tetraedro cujos vértices são \(P(1 , 1, 1)\), \(Q(1, 2, 3)\), \(R(1 , 1, 2)\) e \(S(3, -1, 2)\).
Definino as coordenadas dos vértices do tetraedro.
# Coordenadas dos vértices do tetraedro
vertices <- matrix(c(
1, 1, 1,
1, 2, 3,
1, 1, 2,
3, -1, 2
), ncol = 3, byrow = TRUE)Definindo a matriz das faces do tetraedro regular.
# Conectividade das faces do tetraedro
faces <- matrix(c(
1, 2, 3,
1, 2, 4,
2, 3, 4,
1, 3, 4
), ncol = 3, byrow = TRUE)Plotando o tetraedro regular, acordo com a sua orientação.
# Plotar os vértices
plot3d(vertices, type = "s", col = "red", size = )
#conectandos os seguimentos rglwidget
# Conectar os vértices do tetraedro
segments3d(vertices[c(1, 2), ], col = "black")
segments3d(vertices[c(1, 3), ], col = "black")
segments3d(vertices[c(1, 4), ], col = "black")
segments3d(vertices[c(2, 3), ], col = "black")
segments3d(vertices[c(2, 4), ], col = "black")
segments3d(vertices[c(3, 4), ], col = "black")
rglwidget()#plotando o solido em 2 dimensões
# Coordenadas dos vértices do tetraedro regular
vertices <- matrix(c(
1, 1, 1,
1, 2, 3,
1, 1, 2,
3, -1, 2
), ncol = 3, byrow = TRUE)
# Projeção ortográfica dos vértices em 2D
proj_x <- vertices[, 1]
proj_y <- vertices[, 2]
# Plotar os vértices projetados
plot(proj_x, proj_y, type = "n", xlim = c(min(proj_x), max(proj_x)), ylim = c(min(proj_y), max(proj_y)))
segments(proj_x[1], proj_y[1], proj_x[2], proj_y[2])
segments(proj_x[2], proj_y[2], proj_x[3], proj_y[3])
segments(proj_x[3], proj_y[3], proj_x[1], proj_y[1])
segments(proj_x[1], proj_y[1], proj_x[4], proj_y[4])
segments(proj_x[2], proj_y[2], proj_x[4], proj_y[4])
segments(proj_x[3], proj_y[3], proj_x[4], proj_y[4])
Calculando o vetor normal a cada face do tetraedro.
# Calcular os vetores normais a cada face do tetraedro
normais <- matrix(0, nrow = nrow(faces), ncol = 3)
for (i in 1:nrow(faces)) {
# Calcular o vetor normal a cada face
v1 <- vertices[faces[i, 1], ] - vertices[faces[i, 2], ]
v2 <- vertices[faces[i, 1], ] - vertices[faces[i, 3], ]
# Usar o produto vetorial entre v1 e v2 para obter o vetor normal
normais[i, ] <- crossprod(v1, v2)
}
# Mostrar os vetores normais
print(normais) [,1] [,2] [,3]
[1,] 2 2 2
[2,] 0 0 0
[3,] 4 4 4
[4,] 1 1 1calculando o volume do tetraedro
# Calcular o volume do tetraedro
volume <- sum(apply(normais, 1, function(x) sum(x * vertices[faces[1, 1], ])))/6
volume[1] 3.5